共形場理論:4 WZW模型

共形場理論（CFT）において、重要なWess Zumino Witten（WZW）模型
模型そのものよりも、 current代数としてのaffine Lie代数と、それによる各種相関関数の計算法。特に Kniznik Zamorodchikov(KZ)方程式の解のcurrent代数による、積分表示の導出。

内容は、たかだか、１００ページ弱。完璧に理解したいんだけど。。。

4.1 Lie代数

とりあえず、(4.13), (4.14, (4.15)の定義関係式

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\begin{eqnarray}h_i [h_i, h_j] =0, &\quad& [e_i, e_J] = \delta_{ij} h_i, \\ [h_i, e_j] = a_{ij}e_j, &\quad&  [h_i, f_j] = - a_{ij}f_j \\ (\mbox{ad}e_i)^{-a_{ij}+1}(e_j) = 0, &\quad& (\mbox{ad}f_i)^{-a_{ij}+1}(f_j) = 0 ,\quad (i \neq j) \end{eqnarray}

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2.3 Virasoro代数3

式(2.33)の上の

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\[ [L_n, T(z)] = z^n \left(z\frac{\partial}{\partial z} + 2(n+1)  \right) T(z)   + \frac{1}{12}(z^{n+1})^{'''} \] [L_n, T(z)] = z^n (z\frac{\partial}{\partial z} + 2(n+1)  ) T(z)   + \frac{1}{12}(z^{n+1})^{'''} \]

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はＯＰＥから暗算ででる。第2項はＯＰＥの第二項、第三項はＯＰＥの第一項からでる。

第一項は、ＯＰＥの第三項からでる。

ＯＰＥから、Virasoro代数の定義関係式も暗算で次数比較するとでてくる。

カレントとのＯＰＥは暗算で。。。。。できない。

修行がたりないので、後日また修行。

やっぱり、ＯＰＥはすげーよ。

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2.3 Virasoro代数2

Wichの定理の復習 (1.44)より

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\begin{eqnarray}:A_r A_s:\ :A_t A_u:&=&c(A_r,A_t)c(A_s,A_u) + c(A_r,A_u)c(A_s,A_t)\\&&+c(A_r,A_t):A_sA_u:+c(A_r,A_u):A_sA_t:\\&&+c(A_s,A_t):A_rA_u:+c(A_s,A_u):A_rA_t:\\&&+:A_rA_sA_tA_u:\end{eqnarray}

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これは、

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:e^{A}:\ :e^{B}:=e^{c(A,B)}:e^{A+B}

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に対して、

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\begin{eqnarray}A&=&\sum_{r}x_rA_r\\B&=&\sum_{s}x_sB_s\end{eqnarray}

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を代入して、x_r x_s y_t y_uの係数比較して得る

で、T(z)T(w)のOPEを計算すると

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\begin{eqnarray}T(z)T(w)&=&\frac{1}{4}:J(z)J(z):\ :J(w)J(w):\\&=&\frac{1}{2(z-w)^4}+\frac{1}{(z-w)^2}:J(z)J(w): +:J(z)J(z)J(w)J(w):\\&=&\frac{1}{2(z-w)^4}+\frac{1}{(z-w)^2}:J(w)J(w):+\frac{1}{(z-w)}:J^{'}(w)J(w):+\cdots\\&=&\frac{1}{2(z-w)^4}+\frac{2}{(z-w)^2}T(w)+\frac{1}{(z-w)}T^{'}(w)+\cdots\end{eqnarray}

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となってVirasoro代数と等価なストレステンソルのOPEが得られました。

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2.3 Virasoro代数

これがかの有名なVirasoro代数。ひかえおろう。

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[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{1}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}

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free bosonのcurrentの2次式でストレステンソルを構成する（Sugawara construction)により

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T(z)=\frac{1}{2}:J(z)J(z):

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ここで、T(z)はVirasoro代数の生成子の母関数で、ストレステンソル

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T(z)=\sum_{n\in{\bf Z}}L_nz^{-n-2}

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さて、sugawara constructionで作られたＴ(z)がどういうＯＰＥを満たすか、Ｔ（ｚ）の係数がVirasoro代数を満たすかは、チェックしないとね。

ツイストとかSchwarz微分はいまだかつてわかったことがないし、他でみたことがない、なんでこんなのがいるのかぜんぜんわかりません。

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2.2 OPE 2

OPEからfree bosonの関係式を得る

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[a_m,a_n] =m\delta_{m+n,0}

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a_{n}=\oint_{C} \frac{dz}{2\pi i}z^nJ(z)

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なので、

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\begin{eqnarray}[a_n,J(w)]&=&a_nJ(w)-J(w)a_n\\&=&\oint_{C_1}\frac{dz}{2\pi i}z^nJ(x)J(w)-J(w)\oint_{C_2}\frac{dz}{2\pi i}z^nJ(z) \end{eqnarray}

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J(ｚ)J(w)は可換（相関関数と解析接続の意味で）なので

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[a_n,J(w)]=\left(\oint_{C_1}-\oint _{C_2}\right)\frac{dz}{2\pi i}z^nJ(z)J(w)

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J(z)J(w)はOPEの結果からｚ＝ｗで極をもっており、Ｃ１はそれも含むＣ２は含まないので上記は

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\begin{eqnarray}[a_n,J(w)]&=&\oint_{w}\frac{dz}{2\p i}z^nJ(z)J(w)\\&=&\oint_{w}\frac{dz}{2\p i}z^n\frac{1}{(z-w)^2}\\&=&nw^{n-1}\end{eqnarray}

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J(w)の係数比較して、free bosonの定義関係式を得る。

2.2 OPE

Operator Prpduct Exapnsionね

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J(z)J(w)=\frac{1}{(z-w)^2}+\cdots

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free bosonのcurrentのOPEね

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2.1 自由 boson

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J_{+}(z)=\sum_{n \ge 0}a_nz^{-n-1}, \quad J_{-}(z)=\sum_{n<0}a_nz^{-n-1}

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free bosonのcurrentね。

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\begin{eqnarray}[J_{+}(z),J_{-}(w) ]&=&\sum_{n\ge0} \sum_{m<0}[a_n,a_m]z^{-n-1}w^{-m-1}\\&=&\sum_{n\ge0} \sum_{m<0}n\delta_{m+n,0}z^{-n-1}w^{-m-1}\\&=&\sum_{n>0} nz^{-n-1}w^{n-1}=\sum_{n>0} nz^{-2}(w/z) ^{n-1}\\&=&\frac{1}{z^2}\frac{1}{(1-w/z)^2}=\frac{1}{(z-w)^2}\end{eqnarray}

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よって

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\begin{eqnarray}J(z)J(w)&=&(J_{+}(z)+J_{-}(z))(J_{+}(w)+J_{-}(w))\\&=&J_{+}(z)J_{+}(w) + J_{+}(z)J_{-}(w) +J_{-}(z)J_{+}(w)+J_{-}(z)J_{-}(w)\\&=&J_{+}(z)J_{+}(w) + J_{-}(w)J_{+}(z)+\frac{1}{(z-w)^2} +J_{-}(z)J_{+}(w)+J_{-}(z)J_{-}(w)\\&=&\frac{1}{(z-w)^2}+:J(z)J(w):\end{eqnarray}

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1.7 場と相関関数

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\begin{eqnarray}\delta S&=&\sum_{\mu,\nu=1}^2\int_{D}d^2xT_{\mu\nu}\partial_{\mu}\xi_{\nu}\\&=&\sum_{\mu,\nu=1}^2\int_{D}d^2x \partial_{\mu}(T_{\mu\nu}\xi_{\nu})\\&=&\sum_{\mu,\nu=1}^2\oint_{\partial D}dx_{\mu}T_{\mu\nu}\xi_{\nu}\\&=&\oint_{\partial D}dzT(z)\xi(z)dz+\oint_{\partial D}d\bar z\bar T(\bar z)\bar \xi(\bar z)\end{eqnarray}

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ここで、ストレステンソルの保存則を使った。

さらに、

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\begin{eqnarray}T&=&T_{zz}=\frac{1}{4}(T_{11} -T_{22} - 2iT_{12})\\\bar T&=&T_{\bar z\bar z}=\frac{1}{4}(T_{11}-T_{22}+2iT_{12})\end{eqnarray}

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\xi(z)=\xi_1+i\xi_2, \ \quad\bar \xi=\xi_1-i\xi_2

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dz=dx_1+idx_2,\quad d\bar z=dx_1-idx_2

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をばかちょんで、代入して得られる。が。。。こういのうが直感的にわかるのがすごい人なのか。

きれいにこうなるように、（1.132)を定義してるのか。対称性はそのままでてくるが、並進対称性から、１番目のは簡単にでるのか？スケール不変性から３番目も簡単にでるのか？

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1.6 外積代数と積分2

S=\frac{1}{2}\sum_{i,j}F_{ij}x_ix_j

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F_ijは正定値対称行列

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\langle f(x)\rangle=\int_{\bf R^N}dx_1\cdots dx_{N}f(x)e^{-S}

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はｆ（ｘ）の期待値の経路積分形式

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Z=\langle1\rangle=\(\frac{\pi^{N}}{ \mbox{ DetF}\)

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となる。

Sは、Fを対角化することで証明できるというか自明

S=\frac{1}{2}\sum_{i}F_{ii}^{'}x^{'}_ix_{i}^{'}

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1.6 外積代数と積分

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\mbox{e}^{H(t)}e(z)\mbox{e}^{-H(t)}=\mbox{e}^{\xi(t,z)}e(z)=\sum_{n=0}^{\infty}h_nz^n\sum_{m=1}^{\infty}e_mz^m

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\sum_{n=1}\sum_{m=1}h_ne_mz^{n+m}=\sum_{n=1}z^{n} (\sum_{j=1}^{n} e_j h_{n-j})

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よって

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\mbox{e}^{H(t)}e_n\mbox{e}^{-H(t)}=\sum_{j=1}^{n}e_jh_{n-j},\quad h_0=1

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したがって、

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\begin{eqnarray}& &\langle p|\mbox{e}^{H(t)}e_{n_1}\cdots e_{n_p} |0\rangle}\\ =\langle p|(h_{n1-p}\ e_p+\cdots+h_{n1-1}e_1)\cdots(h_{n1-p}\ e_p+\cdots+h_{n1-1}e_1)|0\rangle\\= \mbox{de}\mbox{t}\left(h_{ni-j}\right)_{1\le i,j\le p}\end{eqnarray}

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最後のは、e_1,,,,e_nが反可換なので、符号かけ、e_p * * * e_1となって行列式の定義に一致するから。

係数がちがっているとのこと、トップタームは、上の式は、h_n1-p、下の式は、h_n1_1,すべての行列要素の順番を入れ替えることで、(-1)^p(p-1)/2の係数がつくからかな。

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共形場理論入門 1.6 外積代数と積分

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[H(t),e(z)] = \sum_n\sum_mt_n z^m[a_n,e_m]

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[ a_n,e_n] = e_{m-n}

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より、

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\begin{eqnarray}&=&\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=n+1}^{\infty} t_nz^me_{m-n}=\sum_{n=1}\sum_{m=1}t_n z^{n} z^me_{m}\\&=&\xi(t,z) e(z)\end{eqnarray}

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よって

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\begin{eqnarray}e^{H(t)}e(z)e^{-H(t)} &=& \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}(\mbox{ad}\ H(t))^n e(z)\\&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\xi(t,z)^ne(z)=e^{\xi(t,z)}e(z)\end{eqnarray}

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